第三百四十八章 彼得尔（1/2）

灵感，总是来的这么猝不及防！

程诺嘴角微微一勾，将书页翻回原本那一页。

既然Chebyshev（切比雪夫）给出的Bertrand假设的证明过程如此复杂，那么，自己就挑战一下，看看是否能够用更加简便的数学语言证明Bertrand假设吧。

顺便，来验证一下，这一年的深入钻研，自己的能力究竟到了何种地步。

Bertrand假设的简单证明方法。

光是这个论文题目，就足以被称得上是一区水平的论文。当然，前提是程诺真的能够探索出来那条简单的解法。

就如程诺之前所假设过的。数学界每一个猜想或者假设的证明过程都是由起点走到终点的过程，有的路线曲折，有的路线笔直。

而或许，切比雪夫发现的是那条比较曲折的路线，而程诺，则需要在前人的基础上，开辟出一条更加简捷的道路。

但这却比单独证明Bertrand假设要简单。

毕竟是站在巨人的肩膀上看待问题，有了切比雪夫这位“开荒者”提出的证明方案，程诺或多或少的也能从中汲取到什么，并进行独到的理解。

想到就做！

程诺不是那么犹豫不决的人。反正时间充裕，容得程诺在发现“此路不通”后，重新寻找另一个论文方向。

想要提出更加简便的方案，首先要把前人提出的证明思路吃透。

他没有火急火燎的直接开始自己的钻研，而是低下头，从头到尾的阅读书中关Bertrand假设的那十几页内容。

两个小时后，程诺合上书。

闭着眼回味了几秒，他从书包中掏出一摞空白的草稿纸，拿起桌面上的黑色碳素笔，聚精会神的开始了自己的推演：

想要证明Bertrand假设，就必须证明几个辅助命题。

引理一：【引理1：设n为一自然数，p为一素数，则能整除n！的p的最高幂次为：s=Σi≥1floor（n/pi）（式中floor（x）为不大于x的最大整数）】

这里，需要将从1到n的所有（n个）自然数排列在一条直线上，在每个数字上叠放一列si个记号，显然记号的总数是s。

关系式s=Σ1≤i≤n si表示的是先计算各列的记号数（即si）再求和，由此得到的关系，便是引理1。

引理二：【设n为自然数，p为素数，则Πp≤n plt;4n】

用数学归纳法。n=1和n=2时引理显然成立。假设引理对nlt;N成立（Ngt;2），我们来证明n=N的情形。

如果N为偶数，则Πp≤N p=Πp≤N-1 p，引理显然成立。

如果N为奇数，设N=2+1（≥1）。注意到所有+1，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止于i=，共计项。由于floor（2x）-2floor（x）≤1，因此这项中的每一项不是0就是1……】

由上，得推论1：【设n为一自然数，p为一素数，则能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高幂次为：s=Σi≥1[floor（2n/pi）-2floor（n/pi）]。】

【因为n≥3及2n/32n，求和只有i=1一项，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由于2n/3lt;p≤n还表明1≤n/plt;3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】

由此，得推论2：【设n≥3为一自然数，p为一素数，s为能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高幂次，则：（a）ps≤2n；（b）若pgt;√2n，则s≤1；（/3lt;p≤n，则s=0。】

一行行，一列列。

除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。

等到晚上十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的离开。

而在他手中拿着的草稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。

这是他劳动一天的成果。

明天程诺的工作，就是从这十几个推论中，寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。

……

一夜无话。

翌日，又是阳光明媚，春暖花开的一天。

日期是三月初，方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。

程诺又足够的时间去浪……哦，不，是去完善他的毕业论文。

论文的进度按照程诺规划的方案进行，这一天，他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。

结束了这忙碌的一天，第二天，程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。

这可不是个轻松的工作。

程诺没有多大把握能一天的时间搞定。

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